中学数学 立体図形2 第2講 円と相 似・三角形の五心

1.方べきの定理

円と図形では、様々な相似の図形が現れる。3パターンを習得せよ!
それぞれの図に対して、次の辺の比が成り立つ。

方べき … 方べきとは,そもそも何のことだろうか?
実は方べきの定義とは次の通りである。

半径が\[r\]の円\[O\](中心は\[O\])と任意の定点\[P\]が与えられたとき,\[\abs{PO^2-r^2}\]を円\[O\]に対する,定点P の方べき(power of a point)という。

もっと詳しくいうと,

上の図ならば,(\[PO+r\])(\[PO-r\])の値
上の図ならば,(\[PO+r\])(\[PO-r\])の値

である。めんどくさいので,\[\abs{PO^2-r^2}\]で。
結局,図の\[PA \times PB\]はすべてこの値になるということ。
いやぁ―,数学ってすごいねぇ。

 

 

 

2.三角形の五心 ・・・まずはすべて図で確認!

 

◆◇ 重心[G]◇◆

位置関係 … 各頂点から,向かいの辺の中点に向かって引いた線(中線)の交点。

特徴 … 1.中線を2:1に分ける(頂点の方から)
    2.中線で分けられた,6つの三角形の面積はすべて等しくなる。

 

◆◇ 外心[O]◇◆

位置関係 … 各辺の垂直2等分線の交点。

特徴 … 1.外接円の中心となる。
    2.\[\angle BOC=2 \angle A\]

公式 … \[BC=a,CA=b,AB=c\],外接円の半径を\[R,A\]から\[BC\]に引いた
    垂線の長さを\[h,\triangle ABC\]の面積を\[S\]とする。

\[R=\frac{bc}{2h}  ,  R=\frac{abc}{4s}\]

 

◆◇ 内心[I]◇◆

位置関係 … 各角の2等分線の交点。

特徴 … 内接円の中心となる。

公式 … \[BC=a,CA=b,AB=c\],内接円の半径を\[r,\triangle ABC\]の面積を\[S\]とおくと,

\[S=\frac{1}{2}(a+b+c)r\]

また,\[D=x,BE=y,CF=z\]とおく。

\[x=\frac{1}{2}(b+c-a)\]
\[x=\frac{1}{2}(c+a-b)\]
\[x=\frac{1}{2}(a+b-c)\]

※ \[AB+BC+CA\]を\[l\]とおけば\[x=\frac{1}{2}(l-2a)\]となる。
  向かいの辺の長さを引くのがポイント

 

■□四角形に内接する円□■

ここで,四角形に内接する円についての理解をしておく。
左の図で,円\[O\]は四角形ABCDに内接している。
そうすると,右の図のようになる。つまり,
AQ=AP,BQ=BR,CS=CR,DS=DP
左辺の和=右辺の和なので,
AQ+BQ+CS+DS=AP+BR+CR+DP

AB+CD=AD+BC

つまり,対辺の和が等しくなるということ!である。
このことは,逆も言える。
つまり,対辺の和が等しい四角形は,円が内接する!!

・・・言っとくけど,すべての四角形に円が内接するわけじゃないからね(^^;)

 

◆◇ 垂心[H]◇◆

位置関係 … 各頂点から,向かいの辺の中点に向かって引いた垂線の交点。[図①]

特徴 … 1.同一円周上にある点が多数ある。
      { B,D,F,C }{ A,D,H,F }
      { B,D,H,E }{ C,F,H,E }

      はすべて,同一円周上にあるり,このような点を共円点という。[図②]
    2.各辺上に点を1つずつ取り,それらを結んだ三角形の周の長さが最小となるのは,
      図のD,E,F である。

    3.Hは△DEFの内心になっている。[図③]

証明 … そもそも垂心はほんとに存在するのだろうか??
    実は,この存在を証明する方法がたくさんある。
    そのうちの一つを紹介! 他にも自分で考えてみよう!

 

◆◇ 傍心[Q]◇◆

位置関係 … 1.1つの角の2等分線と,残りの2角の外角の2等分線の交点。[図①]

特徴 … 1.傍接円の中心となる。
    2.傍心は3つ存在する。

公式 …

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