中学数学 数と式1 第3講 平方根の計算

1.実数の分類

我々が普段使っている「数」には,実にいろいろな種類がある。整数,自然数…
まずは,日頃使っている数字を正確に分類してみる。

複素数 … 我々が「数」と呼んでいるものは,正確には複素数と言う。
実 数 … 実際に存在する数。高校入試では,この実数についてしか扱わない。
虚 数 … 2 乗すると-1 になる数を一つ考え,それをi とする。このi と実数とを組み合わせて
    できる複素数 a+bi を虚数という。(ただしb≠0)また,a=0 のとき,純虚数という。
有理数 … 分数で表すことができる数を有理数という。
無理数 … 分数で表すことができない数を無理数という。循環しない無限小数のこと。
分 数 … \[\frac{A}{B}\](A,B は整数)の形で表された数のこと。
整 数 … 1からはじまり,次々に1を加えて得られる数字(=自然数)および,それらに-1
     を乗じて得られる数字および0 のことをいう。
自然数 … 正の整数をいう。0を含まないのが一般的。

 

 

 

2.平方根

平方根
2 乗してAになる数をAの平方根という。
つまり,ある数\[x\]を2乗するとAになるとき、\[x\]をAの平方根という。

(例)4の平方根=2乗して4になる数 =±2
   9の平方根=±3、16 の平方根=±4,25 の平方根=±5,36 の平方根=±6
  ㊟マイナスの数の平方根はない。(例)2 乗して-4 になる数=……???

 

√記号
平方根が有理数(整数・分数など)で表せないときに,次のような記号√(根号・ルート)を用いて表す。Aの平方根を表すとき、正の平方根を\[\sqrt A\],負の平方根を\[-\sqrt{-A}\]と表す。

(例) 3 の平方根=±\[\sqrt 3\] ,7 の平方根=±\[\sqrt 7\]
さらに,当たり前ではあるが,\[a\gt0\]のとき\[\left(\sqrt{a}\right)^2=a,\sqrt{a^2}=a\]が成り立ち,
\[a\gt0,b\gt0\]のとき,\[a \gt b\]ならば\[\sqrt{a}\gt\sqrt{b}\]が成り立つ。

 

根号を含む計算
\[a\gt0,b\gt0\]のとき,
① \[\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\]
② \[\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt\frac{a}{b}\]
③ \[\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\]
④ \[\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a} \\ m\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a} \end{array} \right.\end{eqnarray}\]

 

分母の有理化
分母にある根号をはずし,分母を根号がない形にすることを,分母の有理化という。

① 分母が単項式
\[\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\times\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{\sqrt a \times \sqrt b}{\sqrt b \times \sqrt b}=\frac{\sqrt ab}{\sqrt b}\]  ☆ 分母と分子に,分母の数をかける!

② 分母が多項式
\[\frac{\sqrt a}{\sqrt b + \sqrt c}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b + \sqrt c}\times\frac{\sqrt b – \sqrt c}{\sqrt b – \sqrt c}=\frac{\sqrt a(\sqrt b – \sqrt c)}{(\sqrt b + \sqrt c)(\sqrt b – \sqrt c)}=\frac{\sqrt a(\sqrt b – \sqrt c)}{b-c}\]
                     ☆ \[x^2 − y^2\]の形をつくり,√ を消す!

 

二重根号のはずし方 … ☆高校内容!
図形問題の計算をしていると,稀に根号の中に根号が入ることがある。
これのはずし方を知っておくと便利!

\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a+2\sqrt{ab}+b}\]
\[=\sqrt{\left(\sqrt a\right)^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt b\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt a +\sqrt b\right)^2}\]
\[=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

☆★ポイント★☆

① √ の中の √ の前は必ず2!
② \[\sqrt{A+2\sqrt{B}}\]とおく。たして A に,かけて B になる 2数 a,b を見つける。
③ a > bとして,\[\sqrt{a}+\sqrt{b}\]とする。
(注) \[\sqrt{A-2\sqrt{B}}\]なら,\[\sqrt{a}-\sqrt{b}\]となる。

 

 

代表的な平方根の近似値

\[\sqrt{2}\]= 1.41421356 …  (ひ.とよひとよにひとみごろ)
\[\sqrt{3}\]= 1.7320508 …  (ひ.となみにおごれや)
\[\sqrt{5}\]= 2.2360679 …  (ふ.じさんろくおーむなく)
\[\sqrt{6}\]= 2.44949 …  (に.よよくよく)
\[\sqrt{7}\]= 2.64575 …  (に.むしいない)
\[\sqrt{8}\]= 2.828427 …  (に.やにやよぶない)

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