中学数学 数と式1 第6講 解と係数の関係

1.解と係数の関係

2次方程式の解と,文字の係数には以下の関係が常に成り立つ。
2次方程式\[ax^2+bx+c=0\] (\[a ≠ 0\])の解を\[p,q\]とするとき

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p + q = -\frac{ b }{ a } \\ pq = \frac{ c }{ a } \end{array} \right.\end{eqnarray}    が成り立つ。

(証明)
解を\[p,q\]とする2次方程式は,
\[a(x − p)(x − q) = 0\]とおくことができる。
従って,2次方程式\[ax^2+bx+c=0\] (\[a ≠ 0\])の
2解が\[p,q\]となるとき,
\[ax^2+bx+c=a(x − p)(x − q)\]
     \[=ax^2-a(p+q)x+apq\]

ここで,両辺の係数と定数項を比較すると,

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} b = -a(p+q) \\ c = apq \end{array} \right.\end{eqnarray}   となるので,

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p + q = -\frac{ b }{ a } \\ pq = \frac{ c }{ a } \end{array} \right.\end{eqnarray}   である。

 

 

 

2.判別式

実数解を持たない=解なし

中学の範囲では,解けない2次方程式もある。⇒〔ex.1〕

〔ex.1〕\[x^2+3x+5=0\]を解く。

因数分解できないので,解の公式を用いると

   \[x=\frac{-3\pm \sqrt {3^3-4 \times 1 \times 5 } }{ 2 }\]

ここで,√の中身に注目すると,

   9-20=-11

となる。当たり前だが,√の中身は0以上の数でないといけない。
従って,この2次方程式は,答えがない。逆を言えば,√の中身は0以上なら,必ず解がある。
〔ex.1〕のように,答えのない(解けない)2次方程式を解け,と問われたときは,
「解なし」と答える。(注:高校では,虚数解という形で学習する。)

解が一つ=重解を持つ

2次方程式\[ax^2+bx+c=0\]の解が一つしかないときとはどういうときなのかを考察する。⇒〔ex.2〕

〔ex.2〕\[x^2+6x+9=0\]を解く。
    \[x^2+6x+9=(x-3)^2\]
    \[\therefore x=3\]

なぜ,この2次方程式は解が一つになるのか。〔ex.2〕を解の公式を使って解いてみると…

   \[x=\frac{6\pm \sqrt {(-6)^2-4 \times 1 \times 9 } }{ 2 }\]

ここで,√の中身に注目すると,

   (√の中) = 0

となる。つまり,√の中身が 0のときは解が一つしかない。このとき,「重解を持つ」という。

 

判別式

2次方程式\[ax^2+bx+c=0\]あるとき,\[b^2-4ac\]を判別式といい,\[D=b^2-4ac\]と表す。
これは,解の公式の√の中身である。
これを見ることにより,2次方程式の解を以下のように判別することができる。

2次方程式\[ax^2+bx+c=0\]の判別式,\[D=b^2-4ac\]が

①\[D \gt 0\] のとき,実数解を つ持つ。

②\[D = 0\] のとき,重解を持つ。

③\[D \lt 0\] のとき,解なし。

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