中学数学 数と式1 第5講 2 次方程式の計算

1.2次方程式

\[ax^2+bx+c=0\] (\[a,b,c\]は定数,\[a ≠ 0\])のように,\[x\]の2次式で表される方程式を2次方程式という。
2次方程式を満たす\[x\]の値を2次方程式の解といい,解を求めることを「2次方程式を解く」という。

 

 

 

2.2次方程式の解法

① 因数分解の利用

〔ex.〕 \[x^2-3x-40=0\]を解く。

\[x^2-3x-40=(x-8)(x+5)\]より

\[x^2-3x-40=0 \Leftrightarrow (x-8)(x+5)=0\]

\[AB=0\] ならば \[A=0\]または\[B=0\]より

\[(x-8)=0\]または\[(x+5)=0\]

 \[\therefore x=8,-5\] (答)

 

② 平方完成の利用
 因数分解ができないとき,平方完成を利用して,解を求めることができる。

平方完成
\[ax^2+bx+c=0\]の形をした2次方程式を\[p(x+q)^2+r=0\]の形で表すことを平方完成という。

〔ex.〕 \[x^2+2x+5= (x^2+2x+1)-1+5= (x+1)^2+4\]

 

③ 解の公式の利用
因数分解ができないときは,解の公式を利用して,解を求めることができる。

解の公式 … 超重要!2次方程式の解(\[x\]とか)を1発で求める公式。覚えるまで何度も暗唱!

\[ax^2+bx+c=0\] (\[a ≠ 0\])の解は

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\]

 

 

 

3.解の公式の証明

解の公式を証明する

\[ax^2+bx+c=0\] (\[a ≠ 0\])のとき,
  \[ax^2+bx+c = a\left(x^2+\frac{ b }{ a }x \right )+c\]
          \[= a\left(\left(x^2+\frac{ b }{ a }x+\frac{ b^2 }{ 4a^2 } \right )-\frac{ b^2 }{ 4a^2 }\right )+c\]
          \[= a\left(x+\frac{ b }{ 2a } \right )^2-\frac{ b^2 }{ 4a }+c\]

  \[a\left(x+\frac{ b }{ 2a } \right )^2-\frac{ b^2 }{ 4a }+c=0\] より
       \[a\left(x+\frac{ b }{ 2a } \right )^2=\frac{ b^2 }{ 4a }-c\]
        \[\left(x+\frac{ b }{ 2a } \right )^2=\frac{ b^2-4ac }{ 4a^2 }\]
          \[x+\frac{ b }{ 2a }=\pm \sqrt \frac{ b^2-4ac }{ 4a^2 }\]
             \[x=-\frac{ b }{ 2a }+ \frac{\pm \sqrt {b^2-4ac } }{ 2a }\]
             \[x=\frac{-b\pm \sqrt {b^2-4ac } }{ 2a }\]

Amazon_数学のトリセツ!数学Ⅰ・A Amazon_数学のトリセツ!数学Ⅱ・B Amazon_数学のトリセツ!数学Ⅲ
楽天_数学のトリセツ!数学Ⅰ・A 楽天_数学のトリセツ!数学Ⅱ・B 楽天_数学のトリセツ!数学Ⅲ