中学数学 立体図形1 第1講 立体図形の基礎

1.対角線の長さ

右の図のような直方体の対角線AG の長さを\[l\]とおくと,\[l\]は次の関係が成り立つ。

\[l^2=a^2+b^2+c^2\]

従って, \[l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]がいえる。

[証明]
\[AC^2=a^2+b^2\]
三平方の定理より,\[AG^2=AC^2+CG^2\]
よって,\[AG^2=(a^2+b^2)+c^2\]
\[\therefore l^2=a^2+b^2+c^2\]

 

 

 

2.立方体の切断

3つの約束をしっかりマスターしよう!

1.同一平面上にある切り口の「端」は結べる
2.平行な面の,切り口の線は平行!
3.それでもできなきゃ面を延長!!

3.について。まず,①辺を伸ばす ②延ばした線の交点でである,○どうしを結ぶ ③完成

☆授業で扱う問題で,しっかりとマスターしよう!

 

 

 

3.断頭三角柱

右の図は,底面積が\[S\]の三角柱を右の図のように切断したものである。
図のような長さのとき,残った立体の体積は

\[V=S \times \frac{a+b+c}{3}\]

である。『底面積×高さの平均』と覚えよう!
めっちゃよく使うけど,三角柱でしか使えないから気をつけて!!

 

 

 

4.三角錐の体積比

右の図のように,三角錐の辺\[OA,OB,OC\]上に点\[P,Q,R\]が
それぞれ与えられている場合,

三角錐\[O-ABC\]:三角錐\[O-PQR\]
   \[=OA×OB×OC:OP×OQ×OR\]

が成り立つ!これもよく出る!
☆ 矢印を書き込んでおこう!

 

 

 

5.正三角錐の公式・・・全部暗記!

一辺の長さが\[a\]の正三角錐(正四面体)

高さ(\[AH\])=\[\frac{\sqrt{6}}{3}a\],体積=\[\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\]
内接球の半径=\[AH×\frac{1}{4}\]
外接球の半径=\[AH×\frac{3}{4}\]

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